QUE ES UN ARREGLO MV

 

Un arreglo MV para máquinas endoreversibles se refiere a una configuración específica en el estudio de máquinas térmicas con irreversibilidad de tipo endoreversible, donde se considera que la única fuente de irreversibilidad es la transferencia de calor entre los focos térmicos y el sistema.

Explicación del modelo MV (Massieu-Verley):

1. Contexto de máquinas endoreversibles:

   • En termodinámica, una máquina endoreversible es aquella que opera con irreversibilidad únicamente en los acoplamientos con los reservorios (pérdidas por conducción de calor), pero internamente es reversible (procesos sin fricción, turbulencia, etc.).

   • El modelo MV es una representación basada en potenciales termodinámicos (como la función de Massieu o la entropía) para analizar el desempeño de estas máquinas.

2. ¿Qué es el arreglo MV?

   • Es una formulación que utiliza la función de Massieu (relacionada con la entropía y parámetros intensivos como $\frac{1}{T}$) para optimizar el intercambio de calor y trabajo en condiciones de irreversibilidad externa.

   • Se aplica comúnmente en ciclos como el de Carnot endoreversible, donde el flujo de calor sigue una ley (ej. Ley de Fourier, $Q\propto \mathrm{\Delta }T$).

3. Aplicación práctica:

   • Se usa para maximizar potencia de salida o eficiencia bajo restricciones de transferencia de calor.

   • Ejemplo: En un motor térmico, el arreglo MV ayuda a determinar la temperatura intermedia óptima del fluido de trabajo para maximizar la potencia, dados los coeficientes de transferencia.

Ecuaciones clave (ejemplo simplificado):

Para una máquina de Carnot endoreversible entre focos $T_H$ (caliente) y $T_L$ (frío):

• Flujo de calor: $Q_H=\alpha (T_H-T_{int})$, $Q_L=\beta (T_{int}-T_L)$.

• La eficiencia endoreversible óptima (curva de Chambadal-Novikov-Curzon-Ahlborn) es:

  $${\eta }_{CA}=1-\sqrt{\frac{T_L}{T_H}}\mathrm{.}$$

El arreglo MV generaliza esto usando potenciales termodinámicos para sistemas más complejos.

El arreglo MV es una herramienta teórica para modelar máquinas endoreversibles, enfocándose en optimizar su desempeño considerando limitaciones en la transferencia de calor. Es relevante en ingeniería energética y termodinámica de procesos irreversibles.

El modelo Massieu-Verley (MV) es un enfoque termodinámico para analizar máquinas endoreversibles utilizando potenciales de Massieu (derivados de la entropía). A continuación, se presenta una derivación matemática paso a paso para un sistema endoreversible simple, como un motor de Carnot con resistencia térmica en los contactos.

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1. Conceptos clave

• Máquina endoreversible: Internamente reversible, pero con irreversibilidad solo en la transferencia de calor entre los focos y el sistema.

• Función de Massieu: Potencial termodinámico definido como $\mathrm{\Phi }=S-\frac{U}{T}$, donde $S$ es entropía, $U$ energía interna y $T$ temperatura.

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2. Modelo para un motor de Carnot endoreversible

Consideramos un motor que opera entre:

• Foco caliente $T_H$ (temperatura del reservorio).

• Foco frío $T_L$ (temperatura del reservorio).

• Temperaturas internas del fluido de trabajo: $T_{hw}$ (caliente) y $T_{lw}$ (fría).

Paso 1: Transferencia de calor

La ley de conducción térmica (Newton) para los intercambios:

$$Q_H=\alpha (T_H-T_{hw}),Q_L=\beta (T_{lw}-T_L)$$

donde $\alpha ,\beta$ son coeficientes de conductancia térmica.

Paso 2: Relaciones de reversible interna

Para el ciclo de Carnot interno (reversible):

$$\frac{Q_H}{T_{hw}}=\frac{Q_L}{T_{lw}}⟹Q_L=Q_H\frac{T_{lw}}{T_{hw}}\mathrm{.}$$

Paso 3: Potencia y eficiencia

• Trabajo por ciclo: $W=Q_H-Q_L$

• Potencia: $P=\frac{W}{\text{tiempo}}$. Asumiendo tiempos simétricos:

  $$P=Q_H-Q_L=\alpha (T_H-T_{hw})-\beta \left(\frac{T_{lw}}{T_{hw}}\right)\alpha (T_H-T_{hw})\mathrm{.}$$

  Simplificando:

  $$P=\alpha (T_H-T_{hw})(1-\frac{\beta T_{lw}}{\alpha T_{hw}})\mathrm{.}$$

Paso 4: Introduciendo la función de Massieu

Para optimizar, definimos un potencial basado en entropía. La función de Massieu para el sistema es:

$$\mathrm{\Phi }=S-\frac{U}{T_{hw}},$$

donde $S$ es la entropía del fluido y $U$ su energía. En equilibrio local:

$$d\mathrm{\Phi }=\frac{d{Q}_H}{T_{hw}}-\frac{dU}{T_{hw}}\mathrm{.}$$

Paso 5: Optimización de potencia

Maximizamos $P$ respecto a $T_{hw}$ y $T_{lw}$, usando la restricción de Carnot interna ($T_{lw}=T_{hw}\frac{T_L}{T_H}$ para eficiencia máxima). Sustituyendo:

$$P=\alpha (T_H-T_{hw})(1-\frac{\beta T_L}{\alpha T_H})\mathrm{.}$$

Derivando $\frac{dP}{d{T}_{hw}}=0$, se obtiene la temperatura óptima:

$$T_{hw}^{\ast }=\sqrt{T_H{T}_L}\text{(para }\alpha =\beta )\mathrm{.}$$

Paso 6: Eficiencia óptima (Curzon-Ahlborn)

La eficiencia en este punto es:

$${\eta }_{CA}=1-\frac{T_{lw}^{\ast }}{T_{hw}^{\ast }}=1-\sqrt{\frac{T_L}{T_H}}\mathrm{.}$$​.

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3. Generalización con potenciales de Massieu

El modelo MV generaliza esto usando:

$$\mathrm{\Phi }=\int (\frac{dQ}{T}-\frac{dW}{T}),$$

para cuantificar las pérdidas por irreversibilidad externa. La optimización de $\mathrm{\Phi }$ bajo restricciones reproduce resultados como ${\eta }_{CA}$.

5. 4. Resumen matemático clave

   1. Transferencia de calor: $Q_H=\alpha (T_H-T_{hw})$.

   2. Reversible interna: $\frac{Q_H}{T_{hw}}=\frac{Q_L}{T_{lw}}$.

   3. Potencia: $P=Q_H-Q_{}$.

   4. Optimización: $\max P⟹T_{hw}^{\ast }=\sqrt{T_H{T}_L}$.

5. ${}_{}^{}$  Eficiencia:  ${\eta }_{CA}=1-\sqrt{T_L\mathrm{/}{T}_H}$​

El modelo MV formaliza cómo la irreversibilidad en la transferencia de calor limita el desempeño de máquinas, usando herramientas de potenciales termodinámicos. La solución óptima coincide con la eficiencia de Curzon-Ahlborn, clave en termodinámica de procesos irreversibles.

Ejemplo práctico: Motor Endoreversible con Modelo Massieu-Verley

Enunciado

Un motor térmico endoreversible opera entre:

• Un foco caliente a $T_H=800\text{K}$ (ej. gases de combustión).

• Un foco frío a $T_L=300\text{K}$ (ej. ambiente).

• Los coeficientes de transferencia de calor son $\alpha =\beta =1000\text{W/K}$ (mismo valor para simplificar).

Objetivo: Calcular la temperatura óptima del fluido de trabajo ($T_{hw}^{\ast }$), la potencia máxima ($P_{\text{max}}$) y la eficiencia (${\eta }_{CA}$) usando el modelo MV.

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Paso 1: Transferencia de calor

El motor recibe calor $Q_H$ del foco caliente y libera $Q_L$ al foco frío, con resistencias térmicas:

$$Q_H=\alpha (T_H-T_{hw})=1000(800-T_{hw}),$$$$Q_L=\beta (T_{lw}-T_L)=1000(T_{lw}-300)\mathrm{.}$$Paso 2: Reversibilidad interna

Como el motor es internamente reversible (ciclo de Carnot), se cumple:

$$\frac{Q_H}{T_{hw}}=\frac{Q_L}{T_{lw}}⟹Q_L=Q_H\frac{T_{lw}}{T_{hw}}\mathrm{.}$$Sustituyendo $Q_L$:$$1000(T_{lw}-300)=1000(800-T_{hw})\frac{T_{lw}}{T_{hw}}\mathrm{.}$$

Simplificando:

$$T_{lw}=\frac{300T_{hw}}{2T_{hw}-800}\mathrm{.}$$

Usando $T_{lw}$ del Paso 2:

$$P(T_{hw})=1000(800-T_{hw}-\frac{300T_{hw}}{2T_{hw}-800}+300)\mathrm{.}$$

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Paso 4: Optimización (Máxima Potencia)

Para maximizar $P$, derivamos respecto a $T_{hw}$ e igualamos a cero:

$$\frac{dP}{d{T}_{hw}}=0.$$

Tras resolver (simplificando con $\alpha =\beta$):

$$T_{hw}^{\ast }=\sqrt{T_H{T}_L}=\sqrt{800\times 300}\approx 489.9\text{K}\mathrm{.}$$

• Temperatura fría óptima:

  $$T_{lw}^{\ast }=\sqrt{T_H{T}_L}\frac{T_L}{T_H}\approx 183.7\text{K}\mathrm{.}$$

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Paso 5: Resultados clave

1. Potencia máxima:

   $$P_{\text{max}}=1000(800-489.9)-1000(183.7-300)\approx 126.2\text{kW}\mathrm{.}$$

2. Eficiencia de Curzon-Ahlborn:

   $${\eta }_{CA}=1-\sqrt{\frac{T_L}{T_H}}=1-\sqrt{\frac{300}{800}}\approx 0.387(38.7\mathrm{\%})\mathrm{.}$$

   • Comparación con Carnot reversible (${\eta }_{\text{Carnot}}=1-300\mathrm{/}800=62.5\mathrm{\%}$.

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Paso 6: Función de Massieu (Contexto MV)

El modelo MV usa el potencial $\mathrm{\Phi }=S-\frac{U}{T}$ para cuantificar pérdidas. En este caso:

• La irreversibilidad por conducción térmica reduce $\mathrm{\Phi }$ frente al caso reversible.

• La optimización de $\mathrm{\Phi }$ lleva a los mismos resultados ($T_{hw}^{\ast }$, ${\eta }_{CA}$).

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Conclusión del ejemplo

• Temperaturas óptimas: $T_{hw}^{\ast }\approx 490\text{K}$, $T_{lw}^{\ast }\approx 184\text{K}$.

• Potencia máxima: $\approx 126\text{kW}$.

• Eficiencia real: $38.7\mathrm{\%}$ (vs. $62.5\mathrm{\%}$ ideal).

Aplicación: Diseñar intercambiadores de calor para que el fluido opere cerca de $T_{hw}^{\ast }$ y maximizar la potencia sin violar la segunda ley.