TAYLOR EN LOGISTICA

 

Aproximación del tiempo de entrega con serie de Taylor

Supongamos que el tiempo de entrega $T(x)$ en días depende de la cantidad de carga $x$ en toneladas, y sigue una función no lineal como:

$$T(x) = \ln(1 + x)$$

Esta función refleja que agregar más carga incrementa el tiempo, pero a un ritmo decreciente (por economías de escala, por ejemplo).

 

Queremos una aproximación lineal o cuadrática de esta función para facilitar cálculos rápidos en planificación logística.

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Serie de Taylor de $\ln(1 + x)$ en torno a $x = 0$:

$$T(x) = \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$$

Aproximando con los primeros términos:

$$T(x) \approx x - \frac{x^2}{2}$$

 

Interpretación logística:

• Si se carga poca cantidad $x \ll 1$, se puede estimar el tiempo de entrega sin usar la función logarítmica exacta.

• Esto es útil para simulaciones rápidas o sistemas donde se necesite una función polinómica en lugar de una logarítmica

 

 

Ejemplo: Costo total de transporte con descuentos por volumen

Supongamos que el costo por tonelada disminuye con la cantidad enviada debido a economías de escala, y está modelado por:

$$C(x) = \frac{1000}{x} + 20x$$

Donde:

• $x$ es la cantidad enviada en toneladas.

• $\frac{1000}{x}$ representa un costo fijo distribuido (se vuelve más barato enviar más).

• $20x$ representa el costo variable (combustible, chofer, etc.).

Esta función es no lineal y difícil de optimizar directamente. Usamos la serie de Taylor de $C(x)$ alrededor de un valor $x = a$, por ejemplo, $a = 5$ toneladas.

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Paso 1: Derivadas

$$C(x) = \frac{1000}{x} + 20x$$ $$C'(x) = -\frac{1000}{x^2} + 20$$ $$C''(x) = \frac{2000}{x^3}$$

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Paso 2: Serie de Taylor en torno a $x = 5$:

$$C(x) \approx C(5) + C'(5)(x - 5) + \frac{C''(5)}{2}(x - 5)^2$$

Calculamos:

• $C(5) = \frac{1000}{5} + 20(5) = 200 + 100 = 300$

• $C'(5) = -\frac{1000}{25} + 20 = -40 + 20 = -20$

• $C''(5) = \frac{2000}{125} = 16$

Entonces:

$$C(x) \approx 300 - 20(x - 5) + 8(x - 5)^2$$

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Esta aproximación cuadrática permite:

• Optimizar el costo fácilmente usando álgebra.

• Usar modelos de programación lineal o cuadrática en software de logística.

• Aproximar el costo para cantidades cercanas a 5 toneladas sin calcular funciones racionales.

 

 

Ejemplo: Costo esperado por delincuencia en función de la distancia

Supongamos que el costo por delincuencia se modela como:

$$D(x) = p(x) \cdot V$$

Donde:

• $x$: distancia en kilómetros,

• $V$: valor de la carga (en miles de dólares),

• $p(x)$: probabilidad de sufrir un incidente a lo largo de $x$ km, que crece de forma sigmoide, por ejemplo:

$$p(x) = \frac{1}{1 + e^{-0.01(x - 100)}}$$

Este modelo refleja que:

• Para distancias cortas, el riesgo es bajo.

• A medida que la distancia supera los 100 km, el riesgo se incrementa rápidamente.

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Queremos una serie de Taylor de $D(x) = \frac{V}{1 + e^{-0.01(x - 100)}}$

Para simplificar cálculos, expandimos alrededor de $x = 100$

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Paso 1: Derivadas (simplificadas para $V = 10$

Sea:

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0.01(x - 100)}}$$

Entonces:

$$f(100) = \frac{1}{1 + e^0} = \frac{1}{2}$$ $$f'(x) = \frac{0.01 e^{-0.01(x - 100)}}{(1 + e^{-0.01(x - 100)})^2}$$ $$f'(100) = \frac{0.01}{(1 + 1)^2} = \frac{0.01}{4} = 0.0025$$

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Serie de Taylor de primer orden:

$$D(x) \approx 10 \cdot \left(f(100) + f'(100)(x - 100)\right) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2} + 0.0025(x - 100)\right)$$ $$D(x) \approx 5 + 0.025(x - 100)$$

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• A 100 km, el costo esperado por delincuencia es $5,000.

• Por cada km adicional, el riesgo y el costo aumentan linealmente en la aproximación local.

• Esta aproximación permite:

  • Estimar pérdidas esperadas sin usar funciones sigmoides.

  • Optimizar rutas balanceando distancia y riesgo.

  • Incluir este factor en modelos de costo total logístico.

 

 

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