PROBLEMAS DE TRANSITO CON LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

 

Los problemas más comunes en el tránsito vehicular varían en general, los más frecuentes incluyen:

1. Congestión vehicular

• Causado por el exceso de vehículos en las vías, especialmente en horas pico.

• Falta de infraestructura vial adecuada para el volumen de tráfico.

2. Accidentes de tránsito

• Colisiones por exceso de velocidad, distracciones (como usar el celular) o manejo imprudente.

• Choques laterales, alcances y atropellos a peatones.

3. Falta de respeto a las normas de tránsito

• Desobedecer semáforos, señales de pare o límites de velocidad.

• Cambios de carril abruptos sin señalización.

4. Infraestructura vial deficiente

• Calles en mal estado (baches, falta de señalización).

• Diseño vial ineficiente (intersecciones peligrosas, falta de puentes peatonales).

5. Transporte público ineficiente

• Unidades en mal estado, rutas mal planificadas o sobrepoblación en buses/metros.

• Esto incentiva el uso excesivo de autos particulares.

6. Estacionamiento ilegal o escaso

• Vehículos estacionados en lugares prohibidos, obstruyendo el flujo vehicular.

7. Contaminación ambiental y acústica

• Emisiones de CO₂ por el tráfico lento o detenido.

• Ruido excesivo por cláxones y motores.

8. Conductores y peatones imprudentes

• Peatones que cruzan en lugares no permitidos.

• Motociclistas que zigzaguean entre autos.

9. Falta de educación vial

• Muchos conductores y peatones desconocen las normas básicas de tránsito.

10. Fallas en los sistemas de control

• Semáforos desincronizados o fuera de servicio.

• Insuficiente presencia de agentes de tránsito.

Soluciones comunes:

• Mejorar el transporte público.

• Promover el uso de bicicletas y transporte sostenible.

• Campañas de educación vial.

• Inversión en infraestructura (vías, semáforos inteligentes, pasos peatonales seguros).

   

   Modelemos el problema usando física básica y ecuaciones de segundo grado para determinar la distancia mínima segura (d) entre dos vehículos y la velocidad segura (v) del vehículo que va detrás, considerando el tiempo de frenado.

   

  Supuestos del problema:

• Vehículo delantero (A) frena bruscamente con una desaceleración $a_A$.

• Vehículo trasero (B) reacciona después de un tiempo de reacción (t_r) y luego frena con una desaceleración $a_B$.

• Condición para evitar el choque:

  • La distancia inicial $d$ debe ser suficiente para que el vehículo B se detenga antes de alcanzar al vehículo A.

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Fórmulas clave:

1. Distancia de frenado del vehículo A (d_A):

   $$d_A=\frac{v^2}{2a_A}$$

   (Se detiene completamente).

2. Distancia total recorrida por el vehículo B (d_B):

   • Durante el tiempo de reacción (t_r):

     $$d_{B1}=v\cdot t_r$$

   • Durante el frenado:

     $$d_{B2}=\frac{v^2}{2a_B}$$

   • Total:

     $$d_B=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2a_B}$$

3. Condición para evitar el choque:

   $$d_B\le d+d_A$$

   Sustituyendo:

   $$v\cdot t_r+\frac{v^2}{2a_B}\le d+\frac{v^2}{2a_A}$$

4. Despejando la distancia mínima segura (d):

   $$d\ge v\cdot t_r+\frac{v^2}{2}(\frac{1}{a_B}-\frac{1}{a_A})$$
   

   Ejemplo numérico:

5. Velocidad inicial (v): 20 m/s (72 km/h).

6. Tiempo de reacción (t_r): 1 segundo.

7. Desaceleración del vehículo A (a_A): 5 m/s².

8. Desaceleración del vehículo B (a_B): 4 m/s².

Cálculo:

1. Distancia de frenado de A (d_A):

   $$d_A=\frac{{20}^2}{2\times 5}=\frac{400}{10}=40\text{ m}$$

2. Distancia total de B (d_B):

   $$d_B=(20\times 1)+\frac{{20}^2}{2\times 4}=20+\frac{400}{8}=20+50=70\text{ m}$$

3. Distancia mínima segura (d):

   $$d\ge d_B-d_A=70-40=30\text{ m}$$

   O usando la fórmula general:

   $$d\ge 20\times 1+\frac{{20}^2}{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})=20+200\left(0.05\right)=20+10=30\text{ m}$$

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Ecuación de segundo grado para calcular la velocidad segura (v):

Si conocemos la distancia $d$ y queremos hallar $v$, reorganizamos la fórmula:

$$d=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2}(\frac{1}{a_B}-\frac{1}{a_A})$$

Esto es una ecuación cuadrática en términos de $v$:

$$(\frac{1}{2a_B}-\frac{1}{2a_A})v^2+t_r\cdot v-d=0$$

Ejemplo: Si $d=30\text{ m}$, resolvemos:

$$(\frac{1}{8}-\frac{1}{10})v^2+1\cdot v-30=0$$$$0.025v^2+v-30=0$$

Aplicando la fórmula general ($a{v}^2+bv+c=0$):

$$v=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1+3}}{0.05}$$​​$$v=\frac{-1\pm 2}{0.05}\Rightarrow v=20\text{ m/s}(\text{soluci}\acute{\text{o}}\text{n f}\acute{\text{ı}}\text{sica})$$

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Conclusión:

• Distancia mínima segura: 30 metros.

• Velocidad segura para esa distancia: 20 m/s (72 km/h).

Este modelo asegura que, si el vehículo A frena bruscamente, el vehículo B tendrá suficiente espacio para detenerse sin colisionar.